捌拾捌- 海森堡不确定性原理 (2)

5. 书接上一回

上次看到 ΔA⋅ΔB ，具体是怎样推导的呢？也理解了

\[\Delta A=( \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2 ) ^{1/2} \\\]

但不知道为什么，我总觉得上述公式是没啥用

回看 上节 的第4点，得出

6. 找到一个简单的推导过程

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从数学看来很简单，但有两个疑问

  1. 对易子 跟 反对易子 是什么逻辑，怎样推导的？
  2. 为什么只保留 对易子？

6.1) “对易子” 和 “反对易子”

先从概念上说：

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给一个物理定义上的例子：

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再用基础的 泡利算符 作为例子：

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大模型给我们延伸了一个内容：

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这里就绝望了….什么叫 李代数 、什么叫 克利福德代数（Clifford algebra） 、又什么叫 狄拉克方程与费米子场

一头雾水，但大概能看清

6.2) 为什么 “只保留对易子”？

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可以理解为，其实关注的重点不是 AB + BA

而是调换顺序后的差 AB - BA

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就是先测量哪一个，再测量另外一个值时，在经典物理是没差别的，但在 量子物理 语境下，就是有差别的了

7. 泡利算符的例子 - 回到教程本身

我们看回教程本身 的 1.3 点

计算得知

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故教程中的公式为：

更具体地，设量子态

\[|\psi \rangle=cos \frac{\theta}{2}|0 \rangle + e^{i\phi}sin\frac{\theta}{2}|1 \rangle\]

其中 𝜙 和 𝜃 为对量子比特的转动

\[\langle \psi |X| \psi \rangle = sin \theta cos \phi\] \[\langle \psi |Y| \psi \rangle = sin \theta sin \phi\] \[\langle \psi |Z| \psi \rangle = cos \theta\] \[\langle \psi |X^2| \psi \rangle = \langle \psi |Y^2| \psi \rangle = 1\]

上述为算符的期望值，X、Y、Z 分别为三种不同 泡利算符

且因为

\[\Delta X \Delta Y \geq \ |\langle Z \rangle |\] \[\Delta X=( \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2 ) ^{1/2} \\\]

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所以

\[\begin{aligned} \left[\Delta (X) \Delta (Y)\right]^2-| \langle Z \rangle|^2&=(1-{sin}^2 \theta {cos}^2 \phi)(1- {sin}^2 \theta {sin}^2 \phi)-{cos}^2 \theta \\ &={cos}^2 \phi {sin}^2 \phi {sin}^4 \theta \geq 0 \end{aligned}\]

8. PyQuafu 的例子代码

因为真机排队排得很慢，于是我只用模拟的结果

# 引用包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from quafu import QuantumCircuit, simulate, Task
from numpy import pi, cos, sin

# 构建量子
def construct_circuit(theta):
    qc = QuantumCircuit(3)
    for i in range(3):  # 创建一个3量子比特的电路, 量子态: |0> --> |ψ> = cos(θ/2)|0> + exp(i*pi/4)*sin(θ/2)|1>
        qc.ry(i, theta)
        qc.rz(i, pi/4)
    qc.barrier([0,1,2])
    qc.ry(0, -pi/2)   # 转化测量基为X的本征态
    qc.rx(1, pi/2)    # 转化测量基为Y的本征态
    qc.measure([0,1,2])
    return qc

# 以 θ = 𝜋/2 作为例子绘制电路
q = construct_circuit(pi/2)
q.plot_circuit()

下面的代码我是删除了某些真机的配置 ( 而且都是过期的，后端名字都不是那些了 )

# 模拟的内容
def uncertainty_principle_demo(theta_num = 20):
    # θ 的步长多长
    theta_step = pi/theta_num
    theta = []  # 保存θ的值
    obsexp = []  # 保存 EX,EY,EZ
    for i in range(theta_num):
        theta_i = i*theta_step
        # 配置当前的 θ 值
        qc = construct_circuit(theta = theta_i)
        sub_obsexp=[] # 保存此次循环中 EX,EY,EZ 的值
        # 丢进去做模拟！！！！！！
        simu_res = simulate(qc)
        for i in range(3):
            sub_obsexp.append(simu_res.calculate_obs([i]))
        # 插入实验的 θ 以及 期望值
        theta.append(theta_i)
        obsexp.append(sub_obsexp)
    return theta,obsexp

# 根据上面第 7 点的公式，手算的值
def theoretical_value(theta, phi = pi/4):
    return (sin(phi)**2)*(cos(phi)**2)*(sin(theta)**4)  # [Δ(X)Δ(Y)]^2-|<Z>|^2
x = np.linspace(0, pi, 100)
y = theoretical_value(x)

好了，准备都准备好了，我们开始画图！

# 画模拟结果为蓝色一点点的函数
def plot_theoretical_value(x,y):
    plt.plot(x, y, label="Theoretical value: sin(φ)^2*cos(φ)^2*sin(θ)^4")
    plt.xlabel("theta")
    plt.ylabel("(Δ(X)Δ(Y))^2-|<Z>|^2")
    plt.legend(loc="upper center", bbox_to_anchor=(0.5, 1.15))

# 模拟结果
theta, obsexp = uncertainty_principle_demo(theta_num = 20)
# 根据反馈的期望值计算结果
res=[(1-obsexp[i][0]**2)*(1-obsexp[i][1]**2)-obsexp[i][2]**2 for i in range(len(obsexp))]  # [Δ(X)Δ(Y)]^2-|<Z>|^2
for i in range(len(res)):
    print("θ= {:.3f}*pi ".format(theta[i]/pi),"[Δ(X)Δ(Y)]^2-|<Z>|^2 = {:.6f}".format(res[i]))  # 展示结果数据
# 展示结果图
plt.plot(theta, res, "o",label="Simulation value")
plot_theoretical_value(x,y)
plt.show()

输出的结果如下：

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9. 这些东西好废脑子

之前请教过某些数学博士，他说看这些公式其实还挺好懂，但为什么我看着一脸懵…

看来我还得好好学习

俺先去努力工作先

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